Текст задания

Используя условие устойчивости Рауса-Гурвица 

B C –  A D  > 0 

для линейной системы третьего порядка

A  y''' (t)  + B y'' (t)  + C y'(t)  + D y(t)  =  x(t)    

покажите, что предельное значение коэффициента усиления k=k1k2k3  для системы, изображенной ниже на рисунке, имеет значение

kПР =  2+T1/T2+T1/T3+T2/T1 + T2/T3 + T3/T1 + T3/T2 

Решение

Согласно определению передаточной функции и таблице 1.3.3 получаем передаточную функцию для линейной системы:

G(s)=1/(As3+Bs2+Cs+D)

С другой стороны, зная передаточные характеристики каждого элемента системы найдем общую:

O=k1/(T1s+1)*k2/(T2s+1)*k3/(T3s+1)=(k1*k2*k3)/(T1*T2*T3*s3+(T1*T2+T1*T3+T2*T3 )*s2+(T1+T2+T3 )s+1)

Как видно, знаменатели выражений 1 и 2 подобны, используя критерий Рауса-Гурвица, получаем:

(T1*T2+T1*T3+T2*T3 )∙(T1+T2+T3 )-T1*T2*T3*1=kпр

Путем математических преобразований получаем:

kпр=(T2+T3)/T1 +(T1+T3)/T2 +(T1+T2)/T3 +2