Текст задания

Воспользовавшись табл. 1.3.1, покажите, что передаточная функция колебательного звена, описываемого дифференциальным уравнением  Wd2y /d2t + Tdy /dt + y = kx, где (W > 0, T > 0), равна

G(s) = k / (Ws2 + Ts + 1).

Опираясь на выражение (1.6.10) примера 1.6.1 (стр. 43) изобразите графики всех возможных переходных функций колебательного звена

Решение

W (d2y)/(d2 t)+Tdy/dt+y=kx

Начальные значения равны нулю, тогда переходная функция будет равна (используя значения из таблицы 1.3.1)

G=Выход/Вход=(Y(s))/(X(S))=1/(((W*1*s2+T*1*s+1))/k)=k/(Ws2+Ts+1)

Обратное преобразование Лапласа дает:

y(t)=1-1/β (e(-t/τ) )sin⁡(βt+θ)

Где β=√(1-T2)/2 , τ=2/T, θ=arctg(2β/T)

 Типичная переходная функция системы второго порядка:

График этой функции зависит от физических характеристик, которые задаются выражениями:

 ,  

для данного колебательного звена:

Tp=2π/√(1-T2 ) M=1+e(-Tπ/√(1-T2 ))

То есть вид графика зависит только от значения T, учитывая  зависимости физических величин от T, имеются ограничения на значения T:

0<T<1

Тогда имеются следующие ограничения на Tp и М:

0<Tp<2π

0<M<2

Возможные графики (красный – при максимальных значениях Tp и М, синий при средних из возможных):